Dominio Natural

Dominio de una funcíon

En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R (conjunto de los números reales) o bien que su dominio de definición es R.
Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la función.

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x)

¿Como sacar el Dominio para una función polinomica?
Para sacar el dominio de FUNCIONES POLINÓMICAS:

Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio de definición todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, y sustituyendo el valor de x por el número real que hayamos elegido podemos calcular sin ningún problema el número real imagen y. Por ejemplo:

f(x)= 3×5- 8x + 1; D(f) = R

g(x)= 2x + 3; D(g) = R
h(x)=½ ; D(h) = R

¿Como sacar el Dominio para una función radical?
Para sacar el dominio de FUNCIONES RACIONALES:

Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x1, x2,…, xn, y así tendremos que D(f) = R\{x1, x2,…, xn}. Esto significa que forman el dominio de definición de la función todos los números reales salvo x1, x2,…, xn. Por ejemplo:
I)Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3 y x2 = -3.
Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3}

II) Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio.

Por lo tanto D(f) = R.

¿Como sacar el Dominio para una función irracional?
Para sacar el dominio de FUNCIONES IRRACIONALES:
Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando. Pero si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen y según la función irracional mencionada. Veamos el método para conseguir el dominio en este caso a través de unos ejemplos:

I) Resolvemos la inecuación x +1 > 0; ==> x > -1; resolución gráfica inecuación
.
x+1 es una expresión positiva si x pertenece al intervalo [-1, +infinito).

Por lo tanto D(f) = [-1, +infinito).

II)Resolvemos la inecuación x2- 25 > 0; y obtenemos (x + 5)·(x - 5) >0; R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cuál de ellas se da que el signo del radicando sea positivo. resolución gráfica inecuación
.

Por lo tanto D(g) = (-infinito, -5] U [+5, +infinito)

III)Resolvemos la inecuación x2- 2x – 8 > 0; y obtenemos (x + 2)·(x – 4) >0; Observad que ahora la inecuación se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando está en un denominador y por lo tanto no puede valer 0.
¿En que se traduce esto? Pues sencillamente en tener que excluir de las zonas donde el radicando sea positivo los extremos -2 y +4.
R nos queda dividido en tres zonas de nuevo y estudiando el signo del radicando obtenemos el dominio:
D(h) = (-infinito, -2) U (+4, +infinito) (observad los extremos excluidos).

Fuente: http://perso.wanadoo.es/paquipaginaweb/funciones/dominio.html